Bài tập phương trình đường tròn

Các dạng bài bác tập toán về phương trình mặt đường tròn là trong những nội dung mà đa số chúng ta cảm thấy "dễ thở hơn" bởi nội dung cũng khá rõ ràng và dễ dàng hiểu, tuy vậy nội dung này cũng không thiếu thốn các bài bác tập cực nhọc nhằn đâu nhé.

Bạn đang xem: Bài tập phương trình đường tròn


Vì vậy, trong nội dung bài viết này bọn họ cùng khối hệ thống lại các dạng bài tập toán về phương trình đường tròn, áp dụng giải qua các ví dụ minh hoạ chũm thể, để từ đó các em dễ ợt vận dụng và phân các loại khi chạm mặt các dạng bài tập về đường tròn.

*

Đây cũng chính là nội dung nền tảng gốc rễ cho kỹ năng và kiến thức về mặt mong trong không khí ở lớp 12, và trước khi bắt tay vào giải các dạng bài xích tập mặt đường tròn thì họ phải nắm vững được đặc điểm của con đường tròn qua phần lý thuyết.

I. Kim chỉ nan về phương trình mặt đường tròn

1. Phương trình mặt đường tròn:

- Phương trình con đường tròn gồm tâm I(a;b), bán kính R là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

*
- nếu a2 + b2 - c > 0 thì phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của mặt đường tròn tâm I(a;b), buôn bán kính 
*

2. Phương trình tiếp tuyến đường của con đường tròn

- mang lại điểm M0(x0; y0) nằm trên tuyến đường tròn (C) trung khu I(a;b), tiếp tuyến tại M0 của (C) bao gồm phương trình:

 (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0

*
II. Các dạng bài bác tập phương trình con đường tròn.

Dạng 1: nhấn dạng phương trình đường tròn, tìm đk để 1 PT là phương trình con đường tròn

* Phương pháp:

+) cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = p. (*)

 - Nếu p. > 0 thì (*) là PT mặt đường tròn trung tâm I(a;b) và cung cấp kính 

*

 - ví như P ≤ 0 thì (*) là KHÔNG là PT mặt đường tròn.

+) bí quyết 2: Đưa phương trình đã cho về dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (**)

 ° Đặt phường = a2 + b2 - c 

 - Nếu p > 0 thì (**) là PT con đường tròn trung ương I(a;b) và nửa đường kính

*

 - ví như P ≤ 0 thì (**) là KHÔNG là PT mặt đường tròn.

 Ví dụ 1: Trong những phương trình sau, phương trình nào biểu diễn phương trình mặt đường tròn, tìm chổ chính giữa và bán kính nếu có.

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0

b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0

c) 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0

* Lời giải:

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0,

- Ta bao gồm a = -1; b = 2; c = 9 nên a2 + b2 - c = (-1)2 + (2)2 - 9 = -4 2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0,

- tương tự như có: a2 + b2 - c = (3)2 + (-2)2 - 13 = 0 2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x - 2y - 3 = 0

- tương tự có: a2 + b2 - c = (2)2 + (1)2 + 3 = 8 > 0, đây là phương trình con đường tròn trọng điểm I(2;1) bán kính R=2√2.

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0, phương trình này chưa hẳn pt con đường tròn vì thông số của x2 cùng y2 không giống nhau.

 Ví dụ 2: Cho mặt đường cong (Cm): x2 + y2 - 2mx - 4(m-2)y + 6 - m = 0

a) Tìm đk của m để (Cm) là phương trình đường tròn.

b) lúc (Cm) là pt đường tròn kiếm tìm toạ độ trung tâm và bán kính theo m.

* Lời giải:

a) Để (Cm) là phương trình con đường tròn thì: mét vuông +<2(m-2)>2 - (6 -m) > 0

⇔ mét vuông + 4m2 - 16m + 16 - 6 + m > 0

⇔ 5m2 - 15m + 10 > 0

⇔ m2 - 3m + 2 > 0

⇔ m 2

b) Với đk trên thì (Cm) có tâm I và chào bán kính 

*

 Ví dụ 3: Cho (Cα): x2 + y2 - 2xcosα - 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kπ)

a) CMR (Cα) là mặt đường tròn

b) Xác định α nhằm (Cα) có nửa đường kính lớn nhất

c) tìm kiếm quỹ tính trọng điểm I của (Cα)

* Lời giải:

a) Để (Cα) là mặt đường tròn thì : cos2α + sin2α - cos2α > 0

- Ta có; VT = cos2α + sin2α - cos2α = 1 - cos2α = 2sin2α > 0 (với α ≠ kπ)

- lưu giữ ý: Nếu α = kπ con đường tròn là một trong những điểm.

b) Để (Cα) có nửa đường kính lớn nhất:

- Ta có: R2 = 2sin2α ≤ 2 (do 0 ≤ sin2α ≤ 1)

 ⇒ Rmax = √2 lúc sinα = 1 ⇒ α = (π/2 + kπ).

c) Đường tròn Cα tất cả toạ độ trung ương I(cosα; sinα) tức là: 

*
 khử α ta có: x2 + y2 = 1 chính là quỹ tích trọng điểm I của Cα.

• Dạng 2: Lập phương trình con đường tròn đi qua những điểm

* Phương pháp:

° Cách 1: 

 - kiếm tìm toạ độ vai trung phong I(a;b) của con đường tròn (C)

 - Tìm bán kính R của (C)

 - Viết phương trình mặt đường tròn (C) dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

° phương pháp 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) tất cả dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

 - Từ đk bài toán cho tùy chỉnh hệ pt 3 ẩn a, b, c

 - Giải hệ tìm a, b, c nạm vào pt đường tròn (C).

Xem thêm: Kể Lại Câu Chuyện Về Lý Tự Trọng Trang 9 Sgk Tiếng Việt 5 Tập 1

* lưu lại ý: Đường tròn (C) trải qua điểm A, B thì IA2 = IB2 = R2 cùng thường được áp dụng vào việc yêu ước viết phương trình mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (chính là viết pt mặt đường tròn qua 3 điểm A, B, C).

 Ví dụ: Lập phương trình mặt đường tròn (C) trong các trường đúng theo sau:

a) tất cả tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0)

b) Có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).

c) Đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

* Lời giải:

a) (C) gồm tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0):

- Ta có R = OI, mà 

*

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(1;-3) và bán kính 

*
 có pt:

 (x - 1)2 + (y + 3)2 = 10

b) (C) có 2 lần bán kính AB với A(1;1), B(5,3).

- Ta gồm toạ độ chổ chính giữa I của (C) là trung điểm A,B là:

 

*
 
*

- cung cấp kính 

*

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(3;2) và bán kính

*
 có pt:

(x - 3)2 + (y - 2)2 = 5

c) Đường tròn (C) trải qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

- Goi (C) gồm dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

- bởi (C) đi qua A, B, C nên thay thứu tự toạ độ A, B, C vào pt mặt đường tròn (C) ta có hệ sau:

 

*
 
*
*

- Giải hệ bên trên ta được 

*

⇒ Đường tròn (C) là: 

*

• Dạng 3: Viết phương trình mặt đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

* Phương pháp: phụ thuộc vào tính chất tiếp tuyến

- Đường tròn (C) xúc tiếp với mặt đường thẳng (Δ) thì: d = R

- Đường tròn (C) xúc tiếp với mặt đường thẳng (Δ) tại điểm A thì: d = IA = R

- Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (Δ1) và (Δ2) thì: d = d = R

 Ví dụ 1: Lập phương trình mặt đường tròn (C) trong mỗi trường phù hợp sau:

a) (C) có tâm I(2;5) và tiếp xúc cùng với Ox

b) (C) tất cả tâm I(-1;2) cùng tiếp xúc với mặt đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

c) (C) trải qua A(2;-1) với tiếp xúc với 2 trục toạ độ Ox, Oy

* Lời giải:

a) (C) bao gồm tâm I(2;5) với tiếp xúc với Ox

- Ox bao gồm phương trình: y = 0

- nửa đường kính R của đường tròn là khoảng cách từ I đến Ox ta có:

 

*

⇒ Phương trình mặt đường tròn (C) tất cả dạng: (x - 2)2 + (y - 5)2 = 25

b) (C) có tâm I(-1;2) với tiếp xúc với mặt đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

- Ta có:

*
*

⇒ Phương trình mặt đường tròn (C) bao gồm dạng: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5

c) (C) trải qua A(2;-1) cùng tiếp xúc cùng với 2 trục toạ độ Ox, Oy

- vị A nằm ở góc phần tứ thứ tư yêu cầu đường tròn cũng phía bên trong góc phần tư thứ tư này, buộc phải toạ độ trung khu I=(R;-R).

- Ta có:

*

⇔ R2 = R2 - 4R + 4 + R2 - 2R + 1

⇔ R2 - 6R + 5 = 0

⇔ R = 1 hoặc R = 5

⇒ Vậy gồm 2 đường tròn thoả mãn điều kiện bài toán là:

 (C1): (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1

 (C2): (x - 5)2 + (y + 5)2 = 25

 Ví dụ 2: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x + 2y - 3 = 0 cùng (d2): x + 3y - 5 = 0. Lập phương trình con đường tròn có nửa đường kính bằng R=√10 tất cả tâm nằm trong d1 với tiếp xúc với d2.

* Lời giải:

- vai trung phong I ∈ d1 phải I(-2a+3;a) bởi vì (C) xúc tiếp với d2 đề xuất ta có:

 

*
*

⇒ I1(19;-8) với I2(-21;12)

⇒ bao gồm 2 con đường tròn thoả mãn đk là:

 (C1): (x - 19)2 + (y + 8)2 = 10

 (C2): (x + 21)2 + (y - 12)2 = 10

 Ví dụ 3: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai tuyến đường thẳng (d1): x + 2y - 8 = 0 cùng (d2): 2x + y + 5 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm vị trí (d): x - 2y + 1 = 0 tiếp xúc với (d1) và d2.

* Lời giải:

- Tâm I ∈ d nên I(2a-1;a) vị (C) xúc tiếp với (d1) và (d2) bắt buộc ta có:

*

*

*
*

⇒ Vậy gồm 2 đường tròn đống ý điều kiện.

- cùng với a = -12 thì I(-25;-12), 

*
 Phương trình con đường tròn (C1):

 

*
 

- Với 

*
 thì 
*
*
 Phương trình mặt đường tròn (C2):

 

*

• Dạng 4: Viết phương trình mặt đường tròn nội tiếp tam giác

* Phương pháp:

° bí quyết 1:

- Tính diện tích s S với nửa chu vi p của tam giác để tính được bán kính đường tròn 

*

- gọi I(a;b) là tâm của mặt đường tròn nội tiếp thì khoảng cách từ I cho tới 3 cạnh của tam giác cân nhau và bằng r, từ đó lập thành hệ pt với 2 ẩn a, b.

- Giải hệ phương trình ta kiếm được giá trị của a, b và phương trình mặt đường tròn.

° biện pháp 2:

- Viết phương trình con đường phân giác trong của 2 góc vào tam giác.

- kiếm tìm giao điểm 2 mặt đường phân giác đó ta được trọng tâm I của con đường tròn

- Tính khoảng cách từ I tới 1 cạnh bất kỳ của tam giác ta được cung cấp kính.

 Ví dụ 1: Cho 2 điểm A(4;0) với B(0;3)

a) Viết phương trình mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

b) Viết phương trình con đường tròn nội tiếp tam giác OAB

* Lời giải:

a) Tam giác OAB vuông trên O yêu cầu tâm của mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác OAB là trung điểm của cạnh huyền AB đề nghị tâm toạ độ trọng tâm I của con đường tròn nội tiếp là: I=(2;3/2).

⇒ bán kính: R = IA = 5/2

⇒ PT mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: 

*

b) Ta đã tính diện tích và nửa chu vi của OAB

- Ta tất cả

*

- Nửa chu vi: 

*

⇒ 

*

- vì đường tròn tiếp xúc với 2 trục toạ độ đề nghị tâm Ir=(r;r)=(1;1)

⇒ Pt con đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1

 Ví dụ 2: Viết phương trình mặt đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo vì 3 con đường thẳng:

 (d1): 4x - 3y - 65 = 0

 (d2): 7x - 24y + 55 = 0

 (d3): 3x + 4y - 5 = 0

* Lời giải:

- hotline ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:

 AB: 4x - 3y - 65 = 0

 BC: 7x - 24y + 55 = 0

 CA: 3x + 4y - 5 = 0

- Ta tính được A(11;-7), B(23;9), C(-1;2)

- Ta gồm VTPT:

*
,
*
 

- thường thấy tam giác vuông tại A do 

*

- Tính độ dài các cạnh ta có: AB = trăng tròn ; BC = 25; CA = 15

- diện tích s tam giác ABC: SABC = 150

- Nửa chu vi là: 

*

- bán kính đường tròn nội tiếp là: r = S/P = 150/30 = 5.

- Gọi bán kính đường tròn nội tiếp là I(a;b) thì khoảng cách từ I tới những đường thẳng vẫn cho đa số là r=5 nên ta có.

*

- Giải hệ trên ta được: a = 10 cùng b = 0;

⇒ Phương trình đường tròn nên tìm là: (x - 10)2 + y2 = 25

Hy vọng với bài bác viết tổng hợp một số dạng toán về phương trình đường tròn và bài xích tập vận dụng ở trên hữu ích cho những em. Gần như góp ý cùng thắc mắc các em vui tươi để lại comment dưới nội dung bài viết để basissport.storeghi nhận và hỗ trợ, chúc những em tiếp thu kiến thức tốt.